Question

设α，β是方程x²+9x+1=0的两根，则（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）的值是

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2000
4. D.
   4 000 000

Answer 1

D
分析：欲求（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）=（α²+9α+1+2000α）（β²+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．
解答：∵α，β是方程x²+9x+1=0的两个实数根，
∴α+β=-9，α•β=1．
（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）
=（α²+9α+1+2000α）（β²+9β+1+2000β）
又∵α，β是方程x²+9x+1=0的两个实数根，
∴α²+9α+1=0，β²+9β+1=0．
∴（α²+9α+1+2000α）（β²+9β+1+2000β）
=2000α•2000β
=2000×2000αβ，
而α•β=1，
∴（α²+9α+1+2000α）（β²+9β+1+2000β）=4 000 000．
故选D．
点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．