【题目】 如图,点O在△ABC的BC边上,⊙O经过点A、C,且与BC相交于点 D.点E是下半圆弧的中点,连接AE交BC于点F,已知AB=BF.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若OC=3,OF=1,求cosB的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)根据垂径定理求出∠EOF=90°,根据等腰三角形性质求出∠BAF=∠BFA,∠E=∠OAE,求出∠OAE+∠BAF=90°,根据切线的判定得出即可;
(2)设AB=x,则BF=x,OB=x+1,根据勾股定理求出AB的长,解直角三角形求出即可.
(1)证明:连接OA、OE,
∵点E是下半圆弧的中点,OE过O,
∴OE⊥DC,
∴∠FOE=90°,
∴∠E+∠OFE=90°,
∵OA=OE,AB=BF,
∴∠BAF=∠BFA,∠E=∠OAE,
∵∠AFB=∠OFE,
∴∠OAE+∠BAF=90°,
即OA⊥AB,
∵OA为半径,
∴AB是⊙O的切线;
(2)解:设AB=x,则BF=x,OB=x+1,
∵OA=OC=3,
由勾股定理得:OB2=AB2+OA2,
∴(1+x)2=32+x2,
解得:x=4,
∴cosB=.
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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)请直接写出点A坐标______,点B坐标________;
(2)点C是直线AB上一个动点,当△AOC的面积是△BOC的面积的2倍时,求点C的坐标;
(3)点D为直线AB上的一个动点,在平面内找另一个点E,且以O、B、D、E为顶点的四边形是菱形,请直接写出满足条件的菱形的周长_______.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,交y轴于点C,AB=4,对称轴是直线x=﹣1.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)连接AC,E是线段OC上一点,点E关于直线x=﹣1的对称点F正好落在AC上,求点F的坐标;
(3)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,到达点A即停止运动,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段AC于点Q.设运动时间为t(t>0)秒.
①连接BC,若△BOC与△AMN相似,请直接写出t的值;
②△AOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
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【题目】为丰富学生的文体生活,某校计划开设五门选修课程:声乐、足球、舞蹈、书法、演讲.要求每名学生必须选修且只能选修一门课程,为保证计划的有效实施,学校随机对部分学生进行了一次调查,并将调查结果绘制成如图不完整的统计图.请根据统计图解答下列问题.
(1)本次接受问卷调查的学生有 名;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中选修“演讲”课程所对应扇形的圆心角的度数为 ;
(4)该校有800名学生,请你估计选修“足球”课程的学生有多少名.
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【题目】小明乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示,每相邻两个圆之间距离是1km(小圆半径是1km),若小艇C在游船的正南方2km,则下列关于小艇A、B的位置描述,正确的是( )
A.小艇A在游船的北偏东60°,且距游船3km
B.游船在的小艇A北偏东60°,且距游船3km
C.小艇B在游船的北偏西30°,且距游船2km
D.小艇B在小艇C的北偏西30°,且距游船2km
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【题目】某班50名学生参加“迎国庆,手工编织‘中国结’”活动,要求每人编织4~7枚,活动结束后随机抽查了20名学生每人的编织量,并将各类的人数绘制成扇形统计图(如图1)和条形统计图(如图2),
注:A代表4枚;B代表5枚;C代表6枚;D代表7枚.经确认扇形图是正确的,而条形统计图尚有一处错误.
回答下列问题:
(1)写出条形图中存在的错误: ;
(2)写出这20名学生每人编织‘中国结’数量的众数 、中位数 、平均数 ;
(3)求这50名学生中编织‘中国结’个数不少于6的人数;
(4)若从这50名学生中随机选取一名,求其编织‘中国结’个数为C的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等边三角形,点D在边AB上.
(1)如图1,当点E在边BC上时,求证DE=EB;
(2)如图2,当点E在△ABC内部时,猜想ED和EB数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当点E在△ABC外部时,EH⊥AB于点H,过点E作GE∥AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=3.求CG的长.
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【题目】如图,等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中,已知A(﹣2,0)、B(6,0)、D(0,3),反比例函数的图象经过点C.
(1)求点C的坐标和反比例函数的解析式;
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后,问点B是否落在双曲线上?
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【题目】问题提出:
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD=3,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°,则四边形ABCD的面积为 ;
问题探究:
(2)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABC=135°,AB=2,BC=3,在AD、CD上分别找一点E、F,使得△BEF的周长最小,并求出△BEF的最小周长;
问题解决:
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=10,∠ABC=150°,∠BCD=90°,则在四边形ABCD中(包含其边沿)是否存在一点E,使得∠AEC=30°,且使四边形ABCE的面积最大.若存在,找出点E的位置,并求出四边形ABCE的最大面积;若不存在,请说明理由.
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