Question

如图，在直角坐标系中，直线l经过原点O，点P是第一象限内直线l上的点，过点P作PA垂直y轴于点A，点P的横坐标为1，点B的横坐标为5，PB⊥PO，交x轴于点B．
（1）试说明PO²=PA•OB；
（2）点M为x轴上的动点，若有△AOM与△POB相似，求M的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由条件证明△PAO∽△0PB，再利用相似三角形的性质可证得结论；
（2）由（1）结论可先求得PO，在Rt△PAO中求得AO，在Rt△POB中可求得PB，设M坐标为（x，0），可表示出MO，当△AOM与△POB相似分两种情况讨论，分别得到关于x的方程，解得x即可．

解答：解：（1）∵PA⊥y轴，
∴PA∥x轴，
∴∠APO=∠POB，
∵BP⊥PO，
∴∠PAO=∠OPB，
∴△PAO∽△OPB，
∴

PA

PO

=

PO

OB

，
∴PO²=PA•OB；
（2）∵P的横坐标为1，点B的横坐标为5，
∴PA=1，OB=5，
∴PO²=1×5=5，
∴PO=

5

，
在Rt△PAO中，由勾股定理可得AO=2，
在Rt△PBO中，由勾股定理可得PB=2

5

，
设M坐标为（x，0），则OM=|x|，
∵∠OPB=∠AOM=90°，
∴当△AOM与△POB相似时有两种情况，
①当△AOM∽△OPB时，则

AO

OP

=

OM

PB

，即

2

5

=

|x|

2 5

，解得x=±4，此时M坐标为（-4，0）或（4，0）；
②当△AOM∽△BPO时，则

AO

BP

=

OM

PO

，即

2

2 5

=

|x|

5

，解得x=±1，此时M坐标为（-1，0）或（1，0）；
综上可知点M坐标为（-4，0）或（4，0）或（-1，0）或（1，0）．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及勾股定理、点的坐标的意义等知识点的综合应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，在（2）中注意分情况讨论和方程思想的应用．设出点的坐标表示出线段的长度，利用线段的关系得到关于x的方程是解决这类问题的一般思路．本题难度适中，考查基础知识．