Question

【题目】问题：在1～n（n ≥2）这n个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？

探究：不妨设有m种取法，为了探究m与n的关系，我们先从简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论.

探究一：在1～2这2个自然数中，每次取两个不同的数（不分顺序），使得所取的两个数之和大于2，有多少种取法？

根据题意，有下列取法：1+2，共1种取法．

所以，当n=2时，m=1.

探究二：在1～3这3个自然数中，每次取两个不同的数（不分顺序），使得所取的两个数之和大于3，有多少种取法？

根据题意，有下列取法：1+3，2+3，共2种取法．

所以，当n=3时，m=2.

探究三：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数（不分顺序），使得所取的两个数之和大于4，有多少种取法？

根据题意，有下列取法：1+4，2+4，3+4，2+3，共有3+1=4种取法．

所以，当n=4时，m=3+1=4.

探究四：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数（不分顺序），使得所取的两个数之和大于5，有多少种取法？

根据题意，有下列取法：1+5， 2+5， 3+5， 4+5，2+4，3+4，共有4+2=6种不同的取法．

所以，当n=5时，m=4+2=6.

探究五：在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数（不分顺序），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照上述探究方法，写出解答过程）

探究六：在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，共有 种取法？（直接写出结果）

不妨继续探究n=8,9，···时，m与n的关系.

结论：在1～n这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数字之和大于n，当n为偶数时，共有___种取法；当n为奇数时，共有___种取法；（只填最简算式）

应用：（1）各边长都是自然数，最大边长为11的不等边三角形共有 个

（2）各边长都是自然数，最大边长为12的三角形共有 个

Answer 1

【答案】探究五：有9种不同的取法，解答过程见解析；

探究六：12；

结论：，；

应用：（1）20；（2）42.

【解析】

探究五和探究六依照上述过程写出即可；
结论：根据n＝2～7时，对应m的值，总结规律即可；
应用：（1）相当于求出n＝10（偶数）时，对应的m的值，再减去相加等于11的情况；
（2）分两种情况计算：当三角形是不等边三角形时，按（1）同理得出有25个三角形；当三角形是等腰三角形时，再分12为腰和12为底两种情况讨论求解．

探究五：根据题意，有下列取法：1+6，2+6，3+6，4+6，5+6；2+5，3+5，4+5；4+3共有5+3+1=9种取法，所以，当n = 6时，m = 9；

探究六：根据题意，有下列取法：1+7，2+7，3+7，4+7，5+7，6+7；2+6，3+6，4+6，5+6；3+5，4+5；共有6+4+2=12种取法，所以，当n = 7时，m = 12；

结论：根据n＝2～7时，对应m的值，可得：当n为偶数时，共有种取法，当n为奇数时，共有种取法；

应用：（1）∵最大边长为11，

∴设另两边为a、b，a≠b≠11，

∴另两边长可能为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，

∴a＋b＞10，共有：＝25（个），

∵a＋b＞11，

∴共有25－5＝20（个），

即各边长都是自然数，最大边长为11的不等边三角形共有20个；

（2）最大边长为12，设另两边为a、b，

当三角形是不等边三角形时，则另两边长可能为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，

∴a＋b＞11，共有：（个），

∵a＋b＞12，

∴不等边三角形共有：30－5＝25（个），

当三角形是等腰三角形时，①底为12，腰长分别为11，10，9，8，7，一共5个，②腰为12，底为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共12个，

综上所述，一共有25＋5＋12＝42（个）．