Question

【题目】已知：正方形ABCD中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．

（1）当绕点旋转到时（如图1），求证：；

（2）当绕点旋转到时（如图2），则线段和之间数量关系是 ；

（3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段和之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）BM+DN=MN；

（3）DNBM=MN，理由见解析.

【解析】

（1）延长CB至E使得BE=DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出∠BAE=∠DAN，AE=AN，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS证出△EAM≌△NAM，即可；
（2）证法与（1）类似，延长CB至E，使得BE=DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出∠BAE=∠DAN，AE=AN，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS证出△EAM≌△NAM，即可；
（3）DC上截取DE=BM，连接AE，根据SAS证△ADE≌△ABM，推出∠DAE=∠BAM，AE=AM，求出∠EAN=∠MAN.根据SAS证出△MAN≌△EAN即可．

(1)证明：如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD,

在△ADN和△ABE中

∵

△ABE≌△ADN(SAS)，

∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，

∴

∵

∴∠EAM=∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

∴△EAM≌△NAM，

∴MN=ME，

∵ME=BM+BE=BM+DN，

∴BM+DN=MN；

(2)线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN=MN，理由如下：

延长CB至E，使得BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD,

在△ADN和△ABE中，

∵

△ABE≌△ADN(SAS)，

∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，

∴

∵

∴∠EAM=∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

∴△EAM≌△NAM，∴MN=ME，

∵ME=BM+BE=BM+DN，

∴BM+DN=MN，

故答案为BM+DN=MN；

(3)DNBM=MN，理由如下：

如图3，在DC上截取DE=BM，连接AE，

由(1)知△ADE≌△ABM(SAS)，

∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，

∴

∵

∴∠EAN=∠MAN.

∵在△MAN和△EAN中，

∴△MAN≌△EAN(SAS)，

∴EN=MN，

即DNDE=MN，

∴DNBM=MN.