Question

19．解下列各题
（1）解方程：x（2x-6）=x-3．
（2）已知关于x的方程kx²+2x-1=0有实数根．
①求k的取值范围；
②当k=2时，请用配方法解此方程．

Answer 1

分析 （1）先移项，使方程的右边化为零，再将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，然后令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解；
（2）①当k=0时，是一元一次方程，有解；当k≠0时，方程是一元二次方程，因为方程有实数根，所以根据根的判别式△≥0，求出k的取值范围；
②当k=2时，把k值代入方程，用配方法解方程即可．

解答 解：（1）移项，得x（2x-6）-（x-3）=0，
分解因式，得（x-3）（2x-1）=0，
则x-3=0，或2x-1=0，
解得x₁=3，x₂=0.5；

（2）①当k=0时，方程可化为：2x-1=0，
解得，x=0.5．
当k≠0时，∵方程有实数根，
∴b²-4ac≥0，
即：4+4k≥0，
解得，k≥-1，
又∵k≠0，
∴k≥-1且k≠0，
综合上述可得，k≥-1；

②当k=2时，方程可化为2x²+2x=1，
二次项系数化为1，得x²+x=$\frac{1}{2}$，
配方得，（x+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，
解得，x=-$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即x₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式的运用，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
也考查了用因式分解法与配方法解方程．第二题第一问分两种情况讨论是解题的关键．