Question

【题目】如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；

（3）图2中，当∠D＝40°，∠B＝30°度时，求∠P的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝35°

【解析】

（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；

（3）利用（1）中结论解决问题即可．

解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，

∴∠A+∠D＝∠C+∠B；

故答案为∠A+∠D＝∠C+∠B．

（2）故“8字形”共有6个，

故答案为6．

（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，

①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P＝∠D+∠B，

又∵∠D＝50度，∠B＝40度，

∴2∠P＝40°+30°，

∴∠P＝35°．