Question

【题目】将线段绕点逆时针旋转角度得到线段，连接得，又将线段绕点逆时针旋转得线段（如图①）．

求的大小（结果用含的式子表示）；

又将线段绕点顺时针旋转得线段，连接（如图②）求；

连接、，试探究当为何值时，．

Answer 1

【答案】(1);(2)； (3) 当为时，．

【解析】

（1）由于线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°<α<60°）得到线段AC，根据旋转的性质得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 再由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC-∠CBD进行计算；
（2）由线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，根据旋转的性质得AB=AE，∠BAE=60°，则AC=AE，∠CAE=60°-α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到 然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE计算得到∠BCE=150°；
（3）由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得BC=BD，∠CBD=60°，则可判断△BCD为等腰直角三角形，则∠BCD=60°，CD=BC，
所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC为等腰直角三角形，则CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”证明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以

∵线段绕点逆时针旋转角度得到线段，

∴，，

∴，

∴，

∵线段绕点逆时针旋转得线段，

∴，

∴；

∵线段绕点顺时针旋转得线段，

∴，，

∴，，

∴，

∴；如图②，

∵线段绕点逆时针旋转得线段，

∴，，

∴为等边三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

∴，

即，

当为时，．