Question

【题目】已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F，M，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为．

（2）相切，证明见解析

（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．

【解析】

把代入得

一次函数的解析式为

二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴，

二次函数的解析式为,将代入解析式得

二次函数的解析式为

由解得或，，取的中点，

过作直线的垂线,垂足为,则

，而直径

，即圓心到直线的距离等于半径，

以为直径的圆与直线相切.

平移后二次函数的解析式为,

令得

过三点的國的圆心一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点到直线2的距离,点坐标为.

此时,半径为,面积为

设圆心为的中点为,连接,则，

在三角形中，

，而

当时，过三点的圓面积最小,最小面积为.