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    12．（1）如图1，在矩形ABCD中，点P为边BC上一点，且AB=4，BC=10，∠APD=∠B，BP＜PC，求BP的长；
    （2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，BC=5，∠APD=∠B=45°，求AP的长；
    （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=45°，AB=2$\sqrt{2}$，在BC边上存在一点P，使得∠APD=90°，则边AD的长满足的条件为AD≥4．（请直接写出结果）

    分析 （1）由四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠C=90°，根据余角的性质得到∠BAP=∠DPC，推出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
    （2）延长BC至点E，使得CD⊥DE，通过△ABP∽△DPE，列方程得到BP=1，过点P作PF⊥AB，解直角三角形即可得到结论；
    （3）作AE⊥BC，DF⊥BC，得到∠AEP=∠DFP=90°，推出△AEP∽△PFD，根据相似三角形的性质得到AE•DF=PE•PF=4，由PE+PF≥2$\sqrt{PE•PF}$，即可得到结论．

    解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠B=∠C=90°，
    ∵∠APD=∠B=90°，
    ∴∠PAB+∠APB=∠APB+∠DPC=90°，
    ∴∠BAP=∠DPC，
    ∴△ABP∽△PCD，
    ∴$\frac{AB}{BP}=\frac{PC}{CD}$，
    设BP=x，∴$\frac{4}{x}=\frac{10-x}{4}$
    ∴x1=2，x2=8，又BP＜PC，
    ∴BP=2；

    （2）延长BC至点E，使得CD⊥DE，
    ∵AB=2$\sqrt{2}$，BC=5，∠APD=∠B=45°，
    ∴∠DPE=∠BAP，∠B=∠E=45°，
    ∴△ABP∽△DEP，
    ∴$\frac{AB}{BP}=\frac{PE}{DE}$，
    设BP=x，CE=$\sqrt{2}$CD=4，
    ∴$\frac{{2\sqrt{2}}}{x}=\frac{9-x}{{2\sqrt{2}}}$，
    ∴BP=1，
    过点P作PF⊥AB，
    则BF=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
    ∴AP=$\sqrt{5}$；

    （3）AD≥4，
    作AE⊥BC，DF⊥BC，
    ∴∠AEP=∠DFP=90°，
    ∵∠APD=90°，
    ∴∠EAP+∠APE=∠APE+∠DPF=90°，
    ∴∠EAP=∠DPF，
    ∴△AEP∽△PFD，
    ∴$\frac{AE}{PE}=\frac{PF}{DF}$，
    ∴AE•DF=PE•PF=4，
    ∵PE+PF≥2$\sqrt{PE•PF}$，
    ∴AD=PE+PF≥4．
    故答案为：AD≥4．

    点评 本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，梯形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．

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