Question

某剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，剧院制定了两种优惠方案，方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；方案二：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），分别求出方案一、方案二的付款总金额y₁、y₂（元）与x的函数表达式；
（2）学生人数在什么范围内，两种方案费用一样？人数在什么范围内，选方案一较划算？人数在什么范围内，选方案二较划算？

Answer 1

考点：一次函数的应用

专题：

分析：（1）首先根据优惠方案①：付款总金额=购买成人票金额+除去4人后的学生票金额；
优惠方案②：付款总金额=（购买成人票金额+购买学生票金额）×打折率，列出y关于x的函数关系式，
（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论．

解答：解：（1）按优惠方案一可得
y₁=20×4+（x-4）×5=5x+60（x≥4），
按优惠方案二可得
y₂=（5x+20×4）×90%=4.5x+72（x≥4）；
（2）∵y₁-y₂=0.5x-12（x≥4），
①当y₁-y₂=0时，得0.5x-12=0，解得x=24，
∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；           
②当y₁-y₂＜0时，得0.5x-12＜0，解得x＜24，
∴4≤x＜24时，y₁＜y₂，选方案一较划算；                  
③当y₁-y₂＞0时，得0.5x-12＞0，解得x＞24，
当x＞24时，y₁＞y₂，选方案二较划算．                 
（注：学生没写x≥4，不扣分）

点评：本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．