Question

【题目】永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）
（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）

=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）

（2）解：∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，

∴当x=34时，w取得最大，最大利润为512万元．

答：当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润，最大利润是512万元．

（3）解：周销售利润=周销量×（单件售价﹣单件制造成本）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800，

由题意得，﹣2x2+136x﹣1800=350，

解得：x1=25，x2=43，

∵销售单价不得高于30元，

∴x取25，

答：销售单价定为25元时厂商每周能获得350万元的利润；

【解析】（1）根据利润w=（每盏节能灯的售价-每盏节能灯的进价）每周的销量y，即可求出函数解析式。
（2）将（1）中的函数解析式通过配方，求出其顶点坐标，即可得出结果。
（3）此小题的等量关系是：每周获得的利润w=350，建立方程求解即可。注意：0＜x≤30.
【考点精析】本题主要考查了因式分解法和二次函数的最值的相关知识点，需要掌握已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．