Question

1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O与AB的另一个交点为D，点E为AC的中点．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若DC=4，DE=$\sqrt{5}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）先由直角三角形斜边上的中线性质得出证明DE=EC=$\frac{1}{2}$AC，证出∠EDC=∠ECD，再由OC=OD，得出∠ODC=∠OCD．证出∠ODE=90°，即可得出结论；
（2）先求出AC，根据勾股定理求出AD，再证明△ADC∽△CDB，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠CDA=90°．
∵E为AC的中点，
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠EDC=∠ECD．
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD．
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：在Rt△CDA中，AC=2DE=$2\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C^2}-C{D^2}}=2$．
∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD．
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DC}{BD}$，
即$\frac{2}{4}=\frac{4}{BD}$，
∴BD=8．

点评 本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，证明三角形相似是解决问题的关键．