Question

20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点P为△ABC的内心，PD=5$\sqrt{2}$，AB=8．下列结论：
①∠BAD=45°；②PD=PB；③PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC；④S_△APC=6．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 连结PC、DC、BD，作PF⊥BC于F，PE⊥AC于E，PH⊥AB于H，根据内心的性质得∠ACP=∠BCP，根据圆周角定理由BC为直径得到∠BAC=90°，而AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，推出①成立，再次根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=45°，于是可判断△BDC为等腰直角三角形，则BC=$\sqrt{2}$DC，然后利用三角形外角性质证明∠DPC=∠DCP得到DC=DP，推出②不成立，所以有BC=$\sqrt{2}$DP，推出③成立，由DP=5 $\sqrt{2}$得到BC=10，根据勾股定理计算出AC=6，根据切线长定理可计算出△ABC的内切圆半径为r=2，由此即可求出△APC的面积，即可判断④成立．

解答 证明：连结PC、DC、BD，作MF⊥BC于F，PE⊥AC于E，PH⊥AB于H，如图，

∵点P为△ABC的内心，
∴PC平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，故①正确，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$DC，
又∵∠DPC=∠PAC+∠ACP=45°+∠ACP，
而∠DCP=∠BCD+∠BCP，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DC=DP=BD，
假设②正确，则△PDB是等边三角形，
∴∠ADB=60°=∠ACB，显然不可能，
故②错误．
∴BC=$\sqrt{2}$DP，即PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，故③正确，
∵DP=5 $\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$DP=10，
而AB=8，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=6，
设△ABC的内切圆半径为r，
∵点P为△ABC的内心，
∴PH=PE=PF=r，
∴四边形AHME为正方形，
∴AH=AE=r，则CE=CF=6-r，BH=BF=8-r，
而BF+FC=BC，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$•AC•PE=$\frac{1}{2}$×6×2=6，故④正确，
故正确的有①③④，
故选B．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了圆周角定理和勾股定理．