Question

2．如图①，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图②所示），形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒，设AE=x （cm）．
（1）求线段GF的长；（用含x的代数式表示）
（2）当x为何值时，矩形GHPF的面积S （cm²）最大？最大面积为多少？
（3）试问：此种包装盒能否放下一个底面半径为15cm，高为10cm的圆柱形工艺品，且使得圆柱形工艺品的一个底面恰好落在图②中的正方形GHMN内？若能，请求出满足条件的x的值或范围；若不能，请说明理由． 

Answer 1

分析 （1）AE=BF=x，据此即可利用x表示出等腰直角△EFG的斜边EF的长，然后利用三角函数求得GF的长；
（2）首先利用矩形的面积公式表示出面积S，然后利用二次函数的性质即可求解；
（3）首先求得与正方形各边相切的线段的长度，然后判断高小于或等于10cm即可判断，然后根据NG的长不小于30cm，高不小于10cm即可列不等式求得x的范围．

解答 解：（1）∵AE=BF=x，
∴EF=AB-AE-BF=60-2x．
∴在Rt△GEF中，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（60-2x）=30$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x；
（2）∵NG=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$x，即GH=NG=$\sqrt{2}$x，
∴S=$\sqrt{2}$x （30$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）=-2x²+60x 
=-2（x-15）²+450；
∵-2＜0，
∴当x=15时，S_最大=450；
（3）能放下．
理由是：当圆柱形工艺品与GHMN相切时，x=15$\sqrt{2}$，
此时，30$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x=30$\sqrt{2}$-15$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=30$\sqrt{2}$-30＞10，故一定能放下．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{30\sqrt{2}-\sqrt{2}x≥10}\\{\sqrt{2}x≥30}\end{array}\right.$
解得：15$\sqrt{2}$≤x≤30-5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了图形的折叠以及 等腰直角三角形的性质，本题中利用x表示出三角形的面积是本题的关键．