如图.已知Rt△ABC中.∠C=90°.AB=5cm.AC=4cm.如点P由点B出发向点A匀速运动.同时点Q从点A出发沿AC向C匀速运动.它们的速度均为1cm/s.连接PQ.设运动时间为t．(1)当t何值时.PQ∥BC?(2)设△AQP面积为S(单位cm2).当t为何值时.S取最大值.并求出最大值．(3)是否存在某个时刻t.使线段PQ把△ABC面积平分?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，如点P由点B出发向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC向C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接PQ，设运动时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．
（1）当t何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP面积为S（单位cm²），当t为何值时，S取最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某个时刻t，使线段PQ把△ABC面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

分析（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，得到二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）根据题意列出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式判断根的情况，得到答案．

解答解：由题意得，BP=AQ=t，
则AP=5-t，CQ=4-t，
∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，
∴BC=3cm，
（1）当PQ∥BC时，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{t}{4}$，
解得，t=$\frac{20}{9}$，
当t=$\frac{20}{9}$时，PQ∥BC；
（2）作PH⊥AC于H，
则PH∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PH}{BC}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{PH}{3}$，
解得，PH=3-$\frac{3}{5}$t，
∴△AQP面积为S=$\frac{1}{2}×$AQ×PH=$\frac{1}{2}$×t×（3-$\frac{3}{5}$t）=$-\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t=$-\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{8}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，S取最大值，最大值为$\frac{15}{8}$；
（3）不存在某个时刻t，使线段PQ把△ABC面积平分．
线段PQ把△ABC面积平分，即△AQP面积=$\frac{1}{2}$×△ABC面积，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BC=6，
∴$-\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t=3，
整理得，t²-5t+10=0，
△=（-5）²-4×1×10=25-40＜0，
∴方程没有实数根，
∴不存在某个时刻t，使线段PQ把△ABC面积平分．

点评本题考查的是相似三角形的性质、二次函数的性质以及一元二次方程根的判别式的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、根据题意列出二次函数解析式是解题的关键．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

伴你成长周周练月月测系列答案

小升初金卷导练系列答案

萌齐小升初强化模拟训练系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

11．（1）（$\frac{3}{4}$-$\frac{5}{6}$+$\frac{1}{3}$）×（-24）．
（2）-1³-（1-0.5）×$\frac{1}{3}$×[2-（-3）²]．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

9．在解方程组$\left\{\begin{array}{l}ax+by=9\\ x-cy=-7\end{array}\right.$时，甲正确地解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$，乙把c写错而得到$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=1\end{array}\right.$，若两人的运算过程均无错误，求a，b，c的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

16．如图三角形ABC（可记为△ABC）