Question

【题目】如图，在矩形中，延长至点，且，为中点，连结，．

（1）求证：的面积是的面积的倍．

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点F作GH⊥CD，分别交AB，CD于点G，H．根据四边形ABCD是矩形，为中点，可证得△BGF≌△EHF，得GF=HF，△ABF的面积=，△DEF的面积=，又因为AB=3DE，即可求证△ABF的面积是△DEF的面积的3倍．

（2）设DE=a，则CD=3a，BE=6a，EC=4a，由勾股定理即可求出a，进而求出BE．

（1）证明：过点F作GH⊥CD，分别交AB，CD于点G，H．

∵AB∥CD，∴∠GBF=∠E，∠BGF=∠EHF．

∵F为BE中点，∴BF=EF．

∴△BGF≌△EHF（AAS）． ∴GF=HF．

∵FH⊥CD，AB∥CD，∴GF⊥AB．

∴△ABF的面积=，△DEF的面积=，

∵AB=3DE，GF=HF，

∴△ABF的面积是△DEF的面积的3倍．

（2）设DE=a，则CD=AB=3a，BE=2AB=6a，

∴EC=ED+CD=a+3a=4a．

由勾股定理，得，

即，解得，或（舍去）．

∴．

故答案为：