【题目】小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
问题情境:(1)如图1,四边形中,,点为边的中点,连接并延长交的延长线于点,求证:;(表示面积)
问题迁移:(2)如图2:在已知锐角内有一个定点.过点任意作一条直线分别交射线于点.小明将直线绕着点旋转的过程中发现,的面积存在最小值,请问当直线在什么位置时,的面积最小,并说明理由.
实际应用:(3)如图3,若在道路之间有一村庄发生疫情,防疫部门计划以公路和经过防疫站的一条直线为隔离线,建立个面积最小的三角形隔离区,若测得试求的面积.(结果保留根号)(参考数据:)
拓展延伸:(4)如图4,在平面直角坐标系中,为坐标原点,点的坐标分别为,过点的直线与四边形一组对边相交,将四边形分成两个四边形,求其中以点为顶点的四边形面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)当直线旋转到点是的中点时最小;(3);(4)10.
【解析】
(1)根据可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论;
(2)根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,过点M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性质可以得出结论;
(3)如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1,再根据条件由三角函数值就可以求出结论;
(4)分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,由条件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面积,再根据问题迁移的结论就可以求出最大值;
当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,由B、C的坐标可得直线BC的解析式,就可以求出T的坐标,从而求出△OCT的面积,再由问题迁移的结论可以求出最大值,通过比较就可以求出结论.
(1)证明:,
点为边的中点,
,
,
,
即
(2)当直线旋转到点是的中点时,最小,如图2,
过点的另一条直线交于点,
设,过点作交于,
由问题情境可以得出当是的中点时.
,
,
当点是的中点时,最小
(3)如图3,作,垂足分别为,
在中,
,
.
由问题迁移的结论知道,
当时,的面积最小,
.
在中,
,
,
(4)①如图4,当过点的直线与四边形的一组对边分别交于点,延长交于点,
,
,
,
,
由问题迁移的结论可知,当时,的面积最小,
四边形的面积最大.
作垂足分别为,
点为中点
,
②如图5,当过点的直线与四边形的另一组对边分别交延长交轴于,
,,
设直线的解析式为,由题意,得
,解得
,
当时,,
由问题迁移的结论可知,当时,的面积最小,
四边形的面积最大.
,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,
综上所述:截得四边形面积的最大值为.
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【题目】如图,点O为△ABC外接圆的圆心,以AB为腰作等腰△ABD,使底边AD经过点O,并分别交BC于点E、交⊙O于点F,若∠BAD=30°.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)当CA2=CECB时,
①求∠ABC的度数;
②的值.
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【题目】某超市用3400元购进A、B两种文具盒共120个,这两种文具盒的进价、标价如下表:
价格/类型 | A型 | B型 |
进价(元/只) | 15 | 35 |
标价(元/只) | 25 | 50 |
(1)这两种文具盒各购进多少只?
(2)若A型文具盒按标价的9折出售,B型文具盒按标价的8折出售,那么这批文具盒全部售出后,超市共获利多少元?
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【题目】在阳光体育活动时间,小亮、小莹、小芳到学校乒乓球室打乒乓球,当时只有一副空球桌,他们只能选两人打第一场.
(1)如果确定小亮打第一场,再从其余两人中随机选取一人打第一场,选中小莹的概率是________.
(2)如果确定小亮打第一场,用投掷硬币的方法确定小莹、小芳谁打第一场,并决定小亮做裁判,由小亮抛掷一枚硬币,规定正面朝上小莹胜,反面朝上小芳胜,最终胜两局以上者(包括两局)打第一场.小亮第一次投掷的结果是正面朝上,请用列表或画树状图的方法表示最后两次投掷硬币的所有情况,并求小芳打第一场的概率.
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【题目】在同一平面坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.由函数y=mx+m的图象可知m<0,即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上,与图象不符,故A选项错误;
B.由函数y=mx+m的图象可知m<0,对称轴为x=<0,则对称轴应在y轴左侧,与图象不符,故B选项错误;
C.由函数y=mx+m的图象可知m>0,即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下,与图象不符,故C选项错误;
D.由函数y=mx+m的图象可知m<0,即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上,对称轴为x=<0,则对称轴应在y轴左侧,与图象相符,故D选项正确;
故选:D.
【题型】单选题
【结束】
10
【题目】如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为,E为AB的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),交y轴于点C,点P为抛物线对称轴上一点.则△APC的周长最小值是_____.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为(﹣4,0),点B在y轴上,若反比例函数(k≠0)的图象过点C,则该反比例函数的表达式为( )
A. B. C. D.
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