Question

如图，经过原点的两条直线l₁、l₂分别与双曲线y=（k≠0）相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限，设A点坐标为（3，1）．

（1）求k值及B点坐标；

（2）若P点坐标为（a，3），求a值及四边形APBQ的面积；

（3）若P点坐标为（m，n），且∠APB=90°，求P点坐标．

 

Answer 1

解答：    解：（1）把A（3，1）代入y=得k=3×1=3，

∵经过原点的直线l₁与双曲线y=（k≠0）相交于A、B、

∴点A与点B关于原点对称，

∴B点坐标为（﹣3，﹣1）；

（2）把P（a，3）代入y=得3a=3，解得a=1，

∵P点坐标为（1，3），

∵经过原点的直线l₂与双曲线y=（k≠0）相交于P、Q点，

∴点P与点Q关于原点对称，

∴点Q的坐标为（﹣1，﹣3），

∵OA=OB，OP=OQ，

∴四边形APBQ为平行四边形，

∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PQ²=（1+1）²+（3+3）²=40，

∴AB=PQ，

∴四边形APBQ为矩形，

∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3﹣1）²+（1﹣3）²=8，

∴PB=4，PQ=2，

∴四边形APBQ的面积=PA•PB=2•4=16；

（3）∵四边形APBQ为平行四边形，

而∠APB=90°，

∴四边形APBQ为矩形，

∴OP=OA，

∴m²+n²=3²+1²=10，

而mn=3，

∵（m+n）²﹣2mn=10，

∴（m+n）²=16，解得m+n=4或m+n=﹣4（舍去），

把m、n看作方程x²﹣4x+3=0的两根，解得m=1，n=3或m=3，n=1（舍去），

∴P点坐标为（1，3）．