Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为C点，与x轴交于A（m-2，0）、B（m+2，0）两点，且AC⊥BC．
（1）求a的值；
（2）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD与△ABC相似？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
（3）当0≤x≤1时，y有最小值为-1，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先由抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴交于A（m-2，0）、B（m+2，0）两点，可设抛物线的解析式为y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，再由AC⊥BC，根据抛物线的对称性得出△ABC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出|-4a|=

1

2

AB=2，结合a＞0即可求出a=

1

2

；
（2）先由抛物线y=

1

2

（x-m）²-2交y轴正半轴于D点，得出D（0，

1

2

m²-2），OD=

1

2

m²-2．再由△ABC是等腰直角三角形，得到当△BOD与△ABC相似时，△BOD也是等腰直角三角形，于是OD=OB．然后分m+2＞0；m+2＜0；m+2=0三种情况进行讨论；
（3）先由二次函数的性质得出函数y=

1

2

（x-m）²-2，当x=m时，y有最小值为-2．根据题目条件0≤x≤1时，y有最小值为-1，可知m＜0或m＞1．再分m＜0；m＞1两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴交于A（m-2，0）、B（m+2，0）两点，
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，
∴顶点C（m，-4a），
∵AC⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴|-4a|=

1

2

AB=2，
∴a=

1

2

；

（2）∵抛物线y=

1

2

（x-m）²-2交y轴正半轴于D点，
∴D（0，

1

2

m²-2），OD=

1

2

m²-2．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴当△BOD与△ABC相似时，△BOD也是等腰直角三角形，
∴OD=OB．
①当m+2＞0时，

1

2

m²-2=m+2，解得m₁=4，m₂=-2（不合题意舍去）；
②当m+2＜0时，

1

2

m²-2=-（m+2），解得m₁=0，m₂=-2（均不合题意，都舍去）；
③当m+2=0即m=-2时，B、O、D三点重合，（不合题意舍去）；
综上所述，存在实数m=4，使得△BOD与△ABC相似；

（3）∵y=

1

2

（x-m）²-2，
∴当x=m时，y有最小值为-2．
∵当0≤x≤1时，y有最小值为-1，
∴m＜0或m＞1．
①当m＜0时，顶点（对称轴x=m）在0≤x≤1范围左侧，
此时函数在0≤x≤1范围内y随着x的增大增大，所以当x=0时，y最小，
所以-1=

1

2

（0-m）²-2，
解得m=±

2

，
因m＜0，所以m=-

2

；
②当m＞1时，顶点（对称轴x=m）在0≤x≤1范围右侧，
此时函数在0≤x≤1范围内y随着x的增大而减小，
所以当x=1时，y最小，
所以-1=

1

2

（1-m）²-2，
解得m=1±

2

，
因m＞1，所以m=1+

2

；
综上所述，m的值为-

2

或1+

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称性、增减性，最值的求法，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的性质，综合性较强，难度适中．进行分类讨论是解题的关键．