Question

5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心的圆弧BD，与⊙O交于点E，连接CE，并延长交AB于点F．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）求CF的长；
（3）求△ADE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE、DE，根据等腰三角形性质推出∠ODE=∠OED，∠CDE=∠CED，推出∠OED+∠CED=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据切线长定理得出FC=AF+DC，设AF=x，则，BF=4-x，CF=4+x，在RT△BCF中，根据勾股定理得出（4+x）²=（4-x）²+4²，解得x=1，从而求得CF的长；
（3）根据平行线三角形相似求得EN，从而求得EM，然后根据三角形面积公式求得即可．

解答 解：（1）连接OE，DE，
∵OD=OE，CE=CD，
∴∠ODE=∠OED，∠CDE=∠CED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ODE+∠CDE=90°，
∴∠OED+∠CED=90°，
即OE⊥CF，
∵OE为半径，
∴CF与⊙O相切．
（2）∵∠DAB=∠ADC=90°，
∴AB、DC是⊙O的切线，
∵CF是⊙O的切线，
∴AF=EF，DC=EC，
∴FC=AF+DC，
设AF=x，则，BF=4-x，
∴CF=4+x，
在RT△BCF中，CF²=BF²+BC²，
即（4+x）²=（4-x）²+4²，解得x=1，
∴CF=4+1=5；
（3）过E作MN⊥AD，则MN∥AB，
∴△ECN∽△FCB，
∴$\frac{EN}{BF}$=$\frac{EC}{CF}$，
∵BF=4-1=3，CE=4，CF=5，
∴$\frac{EN}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴EN=$\frac{12}{5}$，
∵MN=AB=4，
∴ME=4-$\frac{12}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}$AD•EM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{8}{5}$=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，切线的判定，切线长定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定好性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．