Question

11．如图，DE是△ABC的AB、AC两边中点的连线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S_△DMN：S_{四边形ANME}=1：5．

Answer 1

分析 连接AM，由于DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC，且DE=$\frac{1}{2}$BC，M是DE中点，于是可知，DM=$\frac{1}{4}$BC，在△BCN中，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得DN=$\frac{1}{3}$BD，即，DN=$\frac{1}{3}$AD，于是S_△DMN=$\frac{1}{3}$S_△ADM，而S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_△ADE=$\frac{1}{8}$S_△ABC（可设S_△ABC=1），那么S_{四边形ANME}也可求，两者面积比也就可求．

解答 解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，
∴S_△ADE=$\frac{1}{4}$，
连接AM，根据题意，得S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_△ADE=$\frac{1}{8}$S_△ABC=$\frac{1}{8}$，
∵DE∥BC，DM=$\frac{1}{4}$BC，
∴DN=$\frac{1}{4}$BN，
∴DN=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{3}$AD．
∴S_△DNM=$\frac{1}{3}$S_△ADM=$\frac{1}{24}$，
∴S_{四边形ANME}=$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{24}$，
∴S_△DMN：S_{四边形ANME}=$\frac{1}{24}$：$\frac{5}{24}$=1：5．
故答案为：1：5．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质．根据三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质和三角形的面积公式找到图形中的各部分面积之间的关系是解决问题的关键．