Question

9．对于平面直角坐标系xOy中的点P（m，n），定义一种变换：作点P（m，n）关于y轴对称的点P′，再将P′向左平移k（k＞0）个单位得到点P_k′，P_k′叫做对点P（m，n）的k阶“?”变换．
（1）求P（3，2）的3阶“?”变换后P₃′的坐标；
（2）若直线y=3x-3与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的2阶“?”变换后得到点C，求过A，B，C三点的抛物线M的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线M的对称轴与x轴交于D，若在抛物线M对称轴上存在一点E，使得以E，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点P（m，n）的k阶“?”变换的定义求解；
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征求出A（1，0），B（0，-3），再根据新定义求出C（-3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；
（3）根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2}{2}$=-1，可得到D（-1，0），利用勾股定理计算出BD=$\sqrt{10}$，然后分类讨论：当DB=DE=$\sqrt{10}$，如图，易得E点坐标为（-1，$\sqrt{10}$）和（-1，-$\sqrt{10}$）；当BD=BE，如图，利用对称易得E点坐标为（-1，-6）；若ED=EB，如图，设E（-1，t），利用两点间的距离公式得到t²=（-1）²+（t+3）²，解得t=-$\frac{5}{3}$，于是可得此时E点坐标为（-1，-$\frac{5}{3}$）．

解答 解：（1）由3阶“?”变换定义：P（3，2）关于y轴对称的点为P'的坐标为（-3，2），再将P'（-3，2）向左平移3个单位得P₃'的坐标P₃'（-6，2）；
（2）当y=0，3x-3=0，解得x=1，则A（1，0）；当x=0，y=3x-3=-3，则B（0，-3）；
由2阶“?”变换定义：A（1，0）关于y轴对称的点为A'的坐标为（-1，0），再将A'（-1，0）向左平移2个单位得P₃'的坐标A₃'（-3，0），则C（-3，0）；
设过A，B，C三点的抛物线M的解析式y=a（x+3）（x-1），
将B（0，-3）代入得a•3•（-1）=-3，解得a=1，
所以抛物线M的解析式为y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2}{2}$=-1，则D（-1，0），
而B（0，-3），
∴BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
若DB=DE=$\sqrt{10}$，如图，则E₁（-1，$\sqrt{10}$），E₂（-1，-$\sqrt{10}$），
若BD=BE，如图，则E₃（-1，-6）；
若ED=EB，如图，E₄B=E₄D，设E₄（-1，t），
则t²=（-1）²+（t+3）²，解得t=-$\frac{5}{3}$，则E₄（-1，-$\frac{5}{3}$），
综上所述，点E的坐标为（-1，$\sqrt{10}$）、（-1，-$\sqrt{10}$）、（-1，-6）、（-1，-$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与几何图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．