Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D，OA⊥CD于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OF=1，BE=EO，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，根据等腰三角形的性质由OC=OD得∠ODC=∠OCD，再根据垂径定理由OA⊥CD得FD=FC，则OA垂直平分DC，所以AD=AC，得到∠ADC=∠ACD，则∠AOC=∠AOD=90°，然后根据切线的判定定理得AB是⊙O的切线；
（2）由于BE=OE=OD，则OB=2OD，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠B=30°，∠BDO=60°，再根据三角形外角性质有∠OCD=

1

2

∠BOD=30°，
利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OCF中计算出OC=2OF=2×1=2，在Rt△BOD中计算出BD=

3

OD=2

3

．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵OA⊥CD，
∴FD=FC，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ODC+∠ADC=∠OCD+∠ACD，
即∠AOC=∠AOD，
而∠ACB=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BE=OE=OD，
∴OB=2OD，
又∵∠BDO=90°，
∴∠B=30°，∠BDO=60°，
∴∠OCD=

1

2

∠BOD=30°，
在Rt△OCF中，OC=2OF=2×1=2，
在Rt△BOD中，OD=2，
∴BD=

3

OD=2

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．