Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，若菱形的周长为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点．

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)若点是反比例函数上的一点，且的面积恰好等于菱形的面积，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P的坐标为或.

【解析】

（1）连接AC，交x轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出OD的长，由菱形四条边相等，求出OC的长，在直角三角形COD中，利用勾股定理求出CD的长，确定出点C坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出解析式；

（2）分两种情况考虑：若P在第一象限反比例函数图象上，连接PB，PO，求出菱形的面积即为三角形PBO面积，根据BO的长，利用三角形面积公式求出P的纵坐标，代入反比例解析式即可确定出P的坐标；若P′在第三象限反比例图象上，连接OP′，BP′，同理确定出P′坐标即可．

(1)连接AC，交x轴于点D，

∵四边形ABCO为菱形，

∴AD=DC，OD=BD，且AC⊥OB，

∵菱形的周长为20，B(6,0)，

∴AB=AO=BC=OC=5，OD=BD=3，

在Rt△COD中,根据勾股定理得：，

∴C(3,4)，

把C坐标代入反比例解析式得：k=12，

则反比例解析式为；

（2）分两种情况考虑：

若P在第一象限反比例函数图象上，连接PB，PO，

∵CD=AD=4，即AC=8，OB=6，

∴S菱形ABCO=，

，OB=6，

∴=8，

把y=8代入反比例函数解析式得：，

此时P坐标为；

若P′在第三象限反比例图象上,连接OP′,BP′，

同理得到= -8，

把y=8代入反比例函数解析式得：，

此时P′，

综上，P的坐标为或.