【题目】如图,抛物线经过A(),B(),C()三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标;
(3)设点M是抛物线的顶点,试判断抛物线上是否存在点H满足?若存在,请求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为;
(2)点D的坐标为(-1,-1).
(3)点H存在.点H坐标为.
【解析】
试题(1)由待定系数法即可得;
由题意可求得直线AC的解析式为.如图,
设D点的横坐标为t(-2<t<0),则D点的纵坐标为.过D作y轴的平行线交AC于E.则E点的坐标为.从而可得,用h表示点C到线段DE所在直线的距离,则可得
,由-2<t<0可知当t=-1时,△DAC面积最大,此时点D的坐标为(-1,-1).
点H存在.
由(1)知,点M的坐标为
如图,假设存在点H,满足
作直线MH交轴于点K(,0),作MN⊥轴于点N. 可得,从而有,从而得点K的坐标为(),得直线MK的解析式为,解方程组,得,.将代入中,解得,由于直线MN与抛物线有两个交点(其中一点为顶点M).从而知 抛物线上必存在一点H,使∠AMH=90, 此时点H坐标为.
试题解析:(1)∵该抛物线过点C(0,2),∴可设该抛物线的解析式为.
将A(-2,0),B(-,0)代入,得,解得:
∴此抛物线的解析式为;
(2)由题意可求得直线AC的解析式为.如图,
设D点的横坐标为t(-2<t<0),则D点的纵坐标为.
过D作y轴的平行线交AC于E.∴E点的坐标为.
∴,用h表示点C到线段DE所在直线的距离,
∴
∵-2<t<0
∴当t=-1时,△DAC面积最大,此时点D的坐标为(-1,-1).
(3)点H存在.
由(1)知,点M的坐标为
如图,假设存在点H,满足
作直线MH交轴于点K(,0),作MN⊥轴于点N.
∵,,∴,
∵,∴,∴,∴
∴,∴,∴点K的坐标为(),所以直线MK的解析式为,∴,把①代入②,化简,得:,>0.
∴,.将代入中,解得
∴ 直线MN与抛物线有两个交点(其中一点为顶点M).
∴ 抛物线上必存在一点H,使∠AMH=90, 此时点H坐标为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某公司研发了一款成本为50元的新型玩具,投放市场进行试销售.其销售单价不低于成本,按照物价部门规定,销售利润率不高于90%,市场调研发现,在一段时间内,每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图所示:
(1)根据图象,直接写出y与x的函数关系式;
(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润,销售单价应定为多少元
(3)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,点A为切点,BP与⊙O交于点C,点D是AP的中点,连结CD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=2,∠P=30°,求阴影部分的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2(m-3) x+m2+1=0的两个根.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)若以x1,x2为对角线的菱形边长是,试求m的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一跨河桥,桥拱是圆弧形,跨度(AB)为16米,拱高(CD)为4米,求:
(1)桥拱半径.
(2)若大雨过后,桥下河面宽度(EF)为12米,求水面涨高了多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形的对角线在轴上,若菱形的周长为,点的坐标为,反比例函数的图象经过点.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若点是反比例函数上的一点,且的面积恰好等于菱形的面积,求点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数的图象过点,反比例函数的图象过点A
(1)求和的值.
(2)过点B作BC∥x轴,与双曲线交于点C,求△OAC的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线和直线l:y=kx+b,点A(-3,-3),B(1,-1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;
(2)当a=-1,二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为-4,求m的值;
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是(____)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com