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【题目】如图,抛物线经过A),B),C)三点.

1)求抛物线的解析式;

2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标;

3)设点M是抛物线的顶点,试判断抛物线上是否存在点H满足?若存在,请求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)抛物线的解析式为

2)点D的坐标为(-1-1).

3)点H存在.点H坐标为

【解析】

试题(1)由待定系数法即可得;

由题意可求得直线AC的解析式为.如图,

D点的横坐标为t-2t0),则D点的纵坐标为.过Dy轴的平行线交ACE.则E点的坐标为.从而可得,用h表示点C到线段DE所在直线的距离,则可得

,由-2t0可知当t=-1时,△DAC面积最大,此时点D的坐标为(-1-1).

H存在.

由(1)知,点M的坐标为

如图,假设存在点H,满足

作直线MH轴于点K0),作MN⊥轴于点N. 可得,从而有,从而得点K的坐标为(),得直线MK的解析式为,解方程组,得.将代入中,解得,由于直线MN与抛物线有两个交点(其中一点为顶点M).从而知 抛物线上必存在一点H,使∠AMH90, 此时点H坐标为

试题解析:(1该抛物线过点C02),可设该抛物线的解析式为

A-20),B-0)代入,得,解得:

此抛物线的解析式为

2)由题意可求得直线AC的解析式为.如图,

D点的横坐标为t-2t0),则D点的纵坐标为

Dy轴的平行线交ACE∴E点的坐标为

,用h表示点C到线段DE所在直线的距离,

∵-2t0

t=-1时,△DAC面积最大,此时点D的坐标为(-1-1).

3)点H存在.

由(1)知,点M的坐标为

如图,假设存在点H,满足

作直线MH轴于点K0),作MN⊥轴于点N

,

K的坐标为(),所以直线MK的解析式为,把代入,化简,得:0

.将代入中,解得

直线MN与抛物线有两个交点(其中一点为顶点M).

抛物线上必存在一点H,使∠AMH90, 此时点H坐标为

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