Question

【题目】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2(m－3) x＋m2＋1＝0的两个根．

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．

Answer 1

【答案】（1）m<时，方程有两个不相等的实数根；（2）m的值为1.

【解析】

（1）若方程有两个不相等的实数根，则△＝b24ac＞0，得到关于m的不等式，求解即可；

（2）由根与系数的关系得出x1＋x2＝2（m3），x1x2＝m2＋1．根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出(x1)2+(x2)2=3，整理得出关于m的方程，解方程即可．

(1)由题意得△=[2(m3)]24(m2 +1)=3224m，

要使方程有两个不相等的实数根，则△>0，即3224m>0，

解得m<，

即m<时，方程有两个不相等的实数根；

(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2(m3)x+m2+1=0的两个根，

∴x1+x2=2(m3)，x1·x2=m2+1.

∵x1，x2为菱形的对角线，且菱形的对角线互相垂直平分，

∴(x1)2+(x2)2=3，

∴x12+x22=12，

∴(x1+x2)22x1·x2=12，

∴[2(m3)]22(m2+1)=12，

∴m212m+11=0，解得：m1=1，m2=11，

∵m<，

∴m2=11不合题意，舍去，

∴m的值为1.