Question

12．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最长，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．

解答 解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．

∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC，$\frac{DA}{DC}$=$\frac{DG}{DF}$，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．
根据两点之间线段最短可得：BO+OM≥BM，
当M在线段BO延长线与该圆的交点处时，线段BM最长，
此时，BO=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}$AC=1，
则BM=BO+OM=$\sqrt{3}$+1．
故答案是：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．