Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm²．
（1）当t=1s时，S的值是多少？
（2）当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，用含t的代数式表示S；当2＜t≤4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，用含t的代数式表示S．
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由S=S_梯形EBCG-S_△EBF-S_△FCG，结合三角形和梯形的面积公式进行计算即可；
（2）如图1，当0≤t≤2时，由S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG即可求得S与t的函数关系式；如图2所示S=$\frac{1}{2}FG•BG$从而可求得S与t的关系式；
（3）当$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$或$\frac{EB}{CG}=\frac{BF}{CF}$时△EBF∽△GCF，从而可求得t的值．

解答 解：（1）如图1，

当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2
由S=S_梯形EBCG-S_△EBF-S_△FCG=$\frac{1}{2}$（EB+CG）•BC-$\frac{1}{2}EB•BF-\frac{1}{2}FC•CG$
=$\frac{1}{2}$（10+2）×8-$\frac{1}{2}×10×4$-$\frac{1}{2}×4×2$=24（cm²）
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，BE=12-2t，BF=4t，FC=8-4t，CG=2t．
S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG=$\frac{1}{2}×8×（12-2t+2t）$-$\frac{1}{2}×4t（12-2t）$-$\frac{1}{2}×2t（8-4t）$=8t²-32t+48，
∴S=8t²-32t+48（0≤t≤2）．
②如图2所示：

当点F追上点G时，4t=2t+8，解得：t=4．
当2＜t≤4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，
此时CF=4t-8．CG=2t，FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t．
$S=\frac{1}{2}FG•BC$=$\frac{1}{2}×8×（8-2t）$=-8t+32
即S=-8t+32  （2＜t≤4）
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2．
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°．
①若$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$．即$\frac{12-2t}{8-4t}=\frac{4t}{2t}$，解得t=$\frac{2}{3}$．
所以当t=$\frac{2}{3}$时，△EBF∽△FCG．
②若$\frac{EB}{CG}=\frac{BF}{CF}$．即$\frac{12-2t}{2t}=\frac{4t}{8-4t}$，解得t=$\frac{3}{2}$．
所以当t=$\frac{3}{2}$时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t=$\frac{2}{3}$或t=$\frac{3}{2}$时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、三角形的面积公式、梯形的面积公式的应用，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．