Question

圆O的直径为5cm，弦AB∥CD，AB=3cm，CD=4cm，则梯形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：分类讨论

分析：首先根据题意画出图形，然后利用垂径定理与勾股定理求得AB与CD间的距离，即梯形的高，继而求得答案．

解答：解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD，
∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=

1

2

AB=

3

2

cm，CF=DF=

1

2

CD=2cm，
在Rt△COF中，OC=

5

2

cm，CF=2cm，
根据勾股定理得：OF=

3

2

cm，
在Rt△AOE中，OA=

5

2

cm，AE=

3

2

cm，
根据勾股定理得：OE=2cm，
则EF=OE-OF=2-

3

2

=

1

2

cm；
∴S_梯形ABDC=

1

2

（AB+CD）•EF=

1

2

×（3+4）×

1

2

=

7

4

（cm²）；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=2+

3

2

=

7

2

cm，
∴S_梯形ABDC=

1

2

（AB+CD）•EF=

1

2

×（3+4）×

7

2

=

49

4

（cm²）；
综上所述：梯形ABCD的面积为：

7

2

cm²或

49

4

cm²．
故答案为：

7

2

cm²或

49

4

cm²．

点评：此题考查了垂径定理、勾股定理以及梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．