Question

9．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B、点D在二次函数y=$\frac{1}{8}$x²+bx+c的图象上，且四边形ABCD是平行四边形．
（1）请直接写出点A、B、D的坐标；
（2）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（3）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，设点P运动了t秒，问t为何值时PQ⊥AC？

Answer 1

分析 （1）先根据直线与坐标轴相交求出A、C坐标，再根据△ABC是以BC为底边的等腰三角形求出B点坐标，接着ABCD是平行四边形，求出D点坐标；
（2）将B、D坐标代入二次函数解析式即可求出b、c，进而确定二次函数解析式；
（3）用t表示出AP、CQ、AQ，利用PQ⊥AC时△AOC与△PQA，列出比例关系，解出t．

解答 解：（1）∵点A、C分别是一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与y轴、x轴的交点，
∴A（0，3），C（4，0），
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴B（-4，0），
∵ABCD是平行四边形，
∴D（8，3）；
（2）将B、D的坐标代入二次函数y=$\frac{1}{8}$x²+bx+c可得：$\left\{\begin{array}{l}{0=2-4b+c}\\{3=8+8b+c}\end{array}\right.$，
解得：b=-$\frac{1}{4}$，c=3，
∴$y=\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{1}{4}x+3$．
（3）
∵AO=3，CO=4，
∴AC=5，
当PQ⊥AC时，如图，

AP=CQ=t，AQ=5-t，
$\frac{AQ}{AP}=\frac{OC}{AC}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{5-t}{t}=\frac{4}{5}$，
解得：$t=\frac{25}{9}$．
即：t为$\frac{25}{9}$时PQ⊥AC．

点评 本题考查了等腰三角形与平行四边形的简单性质、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形判定与生质等多个知识点，难度不大，是一道基础题．对于第（3）问，动点的特殊状态的存在性问题，其关键是根据所给特定状态（本题的特定状态就是PQ与AC垂直）找到几何等量关系（本题的几何等量关系就是相似三角形的线段比例关系），利用方程思想解决问题．