Question

18．在矩形ABCD中，E为BC的中点，连接DE，F为AD上一点，连接CF，交DE于点G，过点F作HF⊥CF于点F，若$\frac{AB}{BC}=\frac{DG}{GE}$=$\frac{1}{2}$，DF=2．
（1）求证：2DF=CE；
（2）试判断∠FDE与∠EDC之间的数量关系，并说明理由；
（3）求HB的长度．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AD∥BC，推出△DFG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（2）根据矩形的性质得到∠DCB=90°，CD=AB，根据已知条件得到CE=$\frac{1}{2}$BC，于是得到CD=$\frac{1}{2}$BC，等量代换得到CD=CE，即可得到结论；
（3）根据（1）（2）的结论推出△AHF∽△CDF，由相似三角形的性质得到$\frac{AH}{AF}=\frac{DF}{CD}$=$\frac{1}{2}$，由DF=2，求得CD=AB=4，AD=8，即可求得结果．

解答 （1）证明：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△CEG，
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{DG}{GE}$=$\frac{1}{2}$，
∴2DF=CE；

（2）∠FDE=∠EDC，
在矩形ABCD中，
∵∠DCB=90°，CD=AB，
∵E为BC的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CD=CE，
∴∠FDE=∠EDC；

（3）∵2DF=CE，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{1}{2}$，
∵∠A=∠CDF=90°，
∵HF⊥CF，
∴∠HFC=90°，
∴∠AFH+∠AHF=∠AFH+∠CFD=90°，
∴∠AHF=∠DFC，
∴△AHF∽△CDF，
∴$\frac{AH}{AF}=\frac{DF}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∵DF=2，
∴CD=AB=4，AD=8，
∴AF=6，
∴AH=3，
∴BH=1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．