Question

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点，过二次函数图象上的点，作轴的垂线交轴于点.

（1）如图1，为线段上方抛物线上的一点，在轴上取点，点、为轴上的两个动点，点在点的上方且连接，当四边形的面积最大时，求的最小值.

（2）如图2，点在线段上，连接，将沿直线翻折，点的对应点为，将沿射线平移个单位得，在抛物线上取一点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）.

【解析】

（1）把四边形PACO沿OA分成△OAP与△OAC，由于△OAC三边确定，面积为定值，故△OAP面积最大时四边形面积也最大．过点P作x轴垂线交OA于D，设点P横坐标为t，则能用t表示PD的长，进而得到△OAP关于t的二次函数关系式，用公式法可求得t＝时△OAP面积最大，即求得此时点P坐标．把点P向下平移1个单位得P'，易证四边形MNP'P是平行四边形，所以PM＝P'N．过点O作经过第二、四象限的直线l，并使直线l与x轴夹角为60°，过点N作NG⊥直线l于点G，则由30°角所对直角边等于斜边一半可知NG＝NO．所以PM＋MN＋NO可转化为P'N＋NG＋1，易得当点P'、N、G在同一直线上最小．把PD延长交直线l于点F，构造特殊Rt△P'FG和Rt△OEF，利用点P坐标和30°、60°的三角函数即可求得P'G的长．

（2）由点B、C、Q的坐标求CQ的长和点C'坐标；过点Q'作x轴的垂线段Q'H，易证△CBQ∽△CHQ'，故有，求得CH、HQ'的长即求得点Q'坐标，进而得到向右向上平移的距离，求得点A'、C'的坐标．求直线CQ解析式，设CQ上的点M横坐标为m，用两点间距离公式可得用m表示A'M和C'M的长．因为△A'MC'是等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于m的方程，求解即求得相应的m的值，进而得点M坐标．

解：（1）如图1，过点O作直线l，使直线l经过第二、四象限且与x轴夹角为60°；

过点P作PF⊥x轴于点E，交OA于点D，交直线l于点F；在PF上截取PP'＝1；过点N作NG⊥直线l于点G

∵A（3，3），AB⊥x轴于点B

∴直线OA解析式为y＝x，OB＝AB＝3

∵C（1，0）

∴S△AOC＝OCAB＝×1×3＝，是定值

设P（t，t2＋4t）（0＜t＜3）

∴D（t，t）

∴PD＝t2＋4tt＝t2＋3t

∴S△OAP＝S△OPD＋S△APD＝PDOE＋PDBE＝PDOB＝（t23t）

∴t＝=时，S△OAP最大

此时，S四边形PACO＝S△AOC＋S△OAP最大

yP＝（）2＋3×＝

∴P（，）

∴P'E＝PEPP'＝1＝，即P'（,）

∵点M、N在y轴上且MN＝1

∴PP'＝MN，PP'∥MN

∴四边形MNP'P是平行四边形

∴PM＝P'N

∵∠NGO＝90°，∠NOG＝90°60°＝30°

∴Rt△ONG中，NG＝NO

∴PM＋MN＋NO＝P'N＋NG＋1

∴当点P'、N、G在同一直线上，即P'G⊥直线l时，PM＋MN＋NO＝P'G＋1最小

∵OE＝，∠EOF＝60°，∠OEF＝90°

∴Rt△OEF中，∠OFE＝30°，tan∠EOF＝＝

∴EF＝OE＝

∴P'F＝P'E＋EF＝+

∴Rt△P'GF中，P'G＝P'F＝

∴P'G＋1＝＋1＝

∴PM＋MN＋NO的最小值为

（2）延长A'Q'交x轴于点H

∵C（1，0），Q（3，1），QB⊥x轴于点B

∴CB＝2，BQ＝1

∴CQ＝=

∵△AQC沿直线AB翻折得△AQC'

∴B（3，0）是CC'的中点

∴C'（5，0）

∵平移距离QQ'＝3

∴CQ'＝CQ＋QQ'＝4

∵QB∥Q'H

∴△CBQ∽△CHQ'

∴

∴CH＝4CB＝8，yQ'＝HQ'＝4BQ＝4

∴xQ'＝OC＋CH＝1＋8＝9

∴Q'（9，4）

∴点Q（3，1）向右平移6个单位，向上平移3个单位得到点Q'（9，4）

∴A'（9，6），C'（11，3）

∴A'C'＝

设直线CQ解析式为y＝kx＋b

∴

解得：

∴直线CQ：y＝x

设射线CQ上的点M（m，m）（m＞1）

∴A'M2＝（9m）2＋（6m+）2＝（9m）2＋（）2

C'M2＝（11m）2＋（3m+）2＝（11m）2＋（）2

∵△A'MC'是等腰三角形

故①若A'M＝A'C'，则（9m）2＋（）2＝13

解得：m1＝7，m2＝

∴M（7，3）或（，）

②若C'M＝A'C'，则（11m）2＋（）2＝13

解得：m1＝，m2＝13

∴M（，）或（13，6）

③若A'M＝C'M，则（9m）2＋（）2＝（11m）2＋（）2

解得：m＝10

∴M（10，）

综上所述，点M坐标为（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）.