Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=

3

4

AB时，求tan∠CED的值；
②当∠CDE=90°时，请直接写出点P，点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点C（0，-3），求出抛物线解析式即可；
（2）①首先求出直线BC的解析式，进而得出D点坐标，进而得出EG和DG的长进而求出即可；
②当∠CDE=90°时，则CE为斜边，则DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），求出a的值，进而得出P，Q点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-

b

2a

=-

b

2

=1，
∴b=-2
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x²-2x-3；

（2）①∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则

0=3k+m -3=m

，
∴

k=1 m=-3

∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
∵AB=4，PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴，
则由抛物线的对称性可得PM=

3

2

，
∵对称轴是直线x=1，
∴P到y轴的距离是

1

2

，
∴点P的横坐标为-

1

2

，
∴P（-

1

2

，-

7

4

）
∴F（0，-

7

4

），
∴FC=3-OF=3-

7

4

=

5

4

∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=

5

2

∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），
过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=

5

2

-1=

3

2

．
在Rt△EGD中，tan∠CED=

GD

EG

=

2

3

．

②
设OE=a，则GE=2-a，
当∠CDE=90°时，则CE为斜边，
则DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为-2，
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3得：x=1+

2

或1-

2

∵点P在第三象限．
∴P（1-

2

，-2），
故Q点坐标为：（1+

2

，-2），
综上所述：满足条件为P（1-

2

，-2），Q（1+

2

，-2）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题型以及直角三角形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用直角三角形的性质得出a的值是解题关键．