Question

1．如图，已知点O在直线AB上，0D、0E分别平分∠BOC、∠AOC，∠BOC=80°．
（1）求∠AOD的度数；
（2）∠DOC和∠COE有什么关系？简单说明理由．
（3）若∠BOC=60°，其他条件不变．（2）中的结论还成立吗？

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线定义计算出∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=40°，然后利用邻补角的定义可计算出∠AOD的度数；
（2）先根据角平分线定义计算出∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=40°，再利用邻补角的定义得到∠AOC=180°-∠BOC=100°，则∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=50°，所以∠DOC+∠COE=90°；
（3）若∠BOC=60°，与（2）的计算方法一样，可得∠DOC+∠COE=90°．

解答 解：（1）∵0D平分∠BOC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}×$80°=40°，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOD=180°-40°=140°；
（2）∠DOC和∠COE互余．理由如下：
∵0D平分∠BOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}×$80°=40°，
而∠AOC=180°-∠BOC=180°-80°=100°，
∵0E平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=50°，
∴∠DOC+∠COE=50°+40°=90°；
（3）若∠BOC=60°，其他条件不变，（2）中的结论还成立．理由如下：
∵0D平分∠BOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}×$60°=30°，
而∠AOC=180°-∠BOC=180°-60°=120°，
∵0E平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∴∠DOC+∠COE=30°+60°=90°．

点评 本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．