Question

10．阅读：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{2}$=$\sqrt{3}$-1（此方法常用）
或：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^2-1^2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1
化简：
①$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$；
②$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$．

Answer 1

分析 ①根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化，可得答案；
②根据分母有理化，可得二次根式的加减，根据二次根式的加减，可得答案．

解答 解：①原式=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{（\sqrt{5}+\sqrt{2}）（\sqrt{5}-\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$；
②原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$…+$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-1）
=$\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$．

点评 主要考查二次根式的有理化．利用二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．