Question

16．在锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，矩形MPQN的两个顶点M，N分别在AB，AC上，另两个顶点P，Q均在BC上，高AD交MN于点E，设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y．
（1）求AD的长，并用含x的式子表示线段AE的长；
（2）请写出y关于x的函数解析式；
（3）试求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积计算公式求得高AD即可；证得△AMN∽△ABC，得出$\frac{AE}{AD}$=$\frac{MN}{BC}$，进一步字母与数值得出答案即可；
（2）利用矩形的面积计算方法求得y关于x的函数解析式；
（3）利用二次函数的性质和配方法求得最大值即可．

解答 解：（1）∵S_△ABC=12，
∴$\frac{1}{2}$BC•AD=12，又BC=6，
∴AD=4；
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{MN}{BC}$，
即$\frac{AE}{4}$=$\frac{x}{6}$，
∴AE=$\frac{2}{3}$x；
（2）∵AE=$\frac{2}{3}$x，
∴MP=AD-AE=4-$\frac{2}{3}$x，
∴矩形MPQN的面积为y=x（4-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+4x；
（3）∵y=-$\frac{2}{3}$x²+4x=-$\frac{2}{3}$（x-3）²+6，
∴当x=3时，y的最大值是6．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握对应高的比等于对应边的比的性质是正确列出比例式解决问题的关键．