Question

7．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC上，∠B=∠D，AB=AD，∠EAC=∠DAB
（1）求证：AE=AC．
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕点A旋转一个锐角后，与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
（3）在（2）的条件下，若AD=10，则D点所经过的路径长为$\frac{5}{3}$π．

Answer 1

分析 （1）先由∠EAC=∠DAB得出∠BAC=∠DAE，再根据“ASA”证明△ADE≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等即可得出AE=AC；
（2）由△ABC≌△ADE得AC=AE，而∠BAC=∠DAE，AB=AD，于是将△ADE绕着点A按逆时针方向旋转，能使AD与AE重合，AE与AC重合，根据旋转的性质得∠EAC等于旋转角，由∠AEC=75°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠EAC的度数；
（3）根据旋转的性质得出∠DAB=∠EAC=30°，再利用弧长公式即可求解．

解答 （1）证明：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠BAC=∠DAE．
在△ADE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BAC}\\{AD=AB}\\{∠D=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABC（ASA），
∴AE=AC；

（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
而∠BAC=∠DAE，AB=AD，
∴将△ADE绕着点A按逆时针方向旋转一个锐角后与△ABC重合，则AD与AE重合，AE与AC重合，
∴∠EAC等于旋转角，
∵∠AEC=75°，
∴∠ACE=∠AEC=75°，
∴∠EAC=180°-∠ACE-∠AEC=30°；

（3）解：∵∠DAB=∠EAC=30°，AD=10，
∴D点所经过的路径长为$\frac{30π×10}{180}$=$\frac{5}{3}$π．
故答案为：$\frac{5}{3}$π．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及弧长公式．