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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.

(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.

【答案】
(1)证明:∵对角线BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD,

在△ABD和△CBD中,

∴△ABD≌△CBD(SAS),

∴∠ADB=∠CDB


(2)证明:∵PM⊥AD,PN⊥CD,

∴∠PMD=∠PND=90°,

∵∠ADC=90°,

∴四边形MPND是矩形,

∵∠ADB=∠CDB,

∴∠ADB=45°

∴PM=MD,

∴四边形MPND是正方形.


【解析】(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性质即可得到:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形,再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用正方形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握先判定一个四边形是矩形,再判定出有一组邻边相等;先判定一个四边形是菱形,再判定出有一个角是直角.

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