Question

19．将抛物线y=-2x²-3向上平移若干个单位使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这三个交点能构成直角三角形，那么平移的距离为$\frac{7}{2}$个单位．

Answer 1

分析 设抛物线向上平移a（a＞1）个单位，则有平移后抛物线的解析式为：y=-2x²-3+a，根据两个解析式得出A、M的坐标，得出OA的长，根据平移后的解析式得出B、C的坐标，得出BC的出，根据三角形斜边中线的性质得出a-3=$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，即可求得a的值．

解答 解：设抛物线向上平移a（a＞1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，
且这些交点能构成直角三角形，
则有平移后抛物线的解析式为：y=-2x²-3+a，AM=a，
∵抛物线y=-2x²-3与y轴的交点M为（0，-3），即OM=3，
∴OA=AM-OM=a-3，
令y=-2x²-3+a中y=0，得到-2x²-3+a=0，
解得：x=±$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，
∴B（-$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，0），C（$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，0），即BC=2$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，
又△ABC为直角三角形，且B和C关于y轴对称，即O为BC的中点，
∴AO=$\frac{1}{2}$BC，即a-3=$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，
两边平方得：（a-3）²=$\frac{a-3}{2}$，
∵a-3≠0，∴a-3=$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{7}{2}$．
故答案为$\frac{7}{2}$．

点评 此题考查了二次函数的图象及几何变换，涉及的知识有：平移规律，直角三角形的性质，抛物线与x轴的交点，利用了转化及数形结合的思想，解题的关键是根据题意表示出OA及BC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半建立两边长的关系，借助方程来解决问题．