Question

7．如图，正方形ABCD中，AC=2$\sqrt{2}$，对角线AC上点E，且AE=AD，连接BE，P为BE上的动点（与B、E不重合），过P作PQ⊥AB，PH⊥AC分别AB、AC于点Q、H，则PQ+PH的值等于（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 连接AP，过点E作EF⊥AB于点F，由正方形的性质可以得知AB=BC，∠BAC=45°，结合已知和三角函数值可求得EF的长度，由△ABE的面积=△ABP的面积+△AEP的面积，结合面积公式即可得出结论．

解答 解：连接AP，过点E作EF⊥AB于点F，如图所示．

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠BAC=∠DAC=45°．
∵AC=$\frac{BC}{sin∠BAC}$=2$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=2．
∵AE=AB，
∴AE=2，EF=AE•sin∠FAE=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
△ABE的面积S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EF=S_△ABP+S_△AEP=$\frac{1}{2}$AB•PQ+$\frac{1}{2}$AE•PH=$\frac{1}{2}$AB×（PQ+PH），
∴PQ+PH=EF=$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形的面积公式以及特殊角的三角函数，解题的关键是：由△ABE的面积=△ABP的面积+△AEP的面积得出PQ+PH=EF．本题属于中档题，解题的技巧在于巧用面积公式．