Question

17．△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD．

（1）如图1，求证：∠BAD=∠CAD；
（2）如图2，若OH=DH，求∠BAC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BK⊥AD于点K，连接HK，若HK=$\frac{3}{2}$，⊙O的半径为$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由OH⊥BC知$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，可得∠BAD=∠CAD；
（2）RT△BOH中由OH=$\frac{1}{2}$OB知∠BOH=60°，进而得∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°；
（3）延长BK、AC交于点P，连接OB，过点C作CR⊥AB，在RT△BOH中根据半径及∠BOH求得BH、BC的长，证△ABK≌△APK得BK=PK、AB=AP，结合BH=CH可得CP=2HK=3，设AC=m，则AB=m+3，在RT△ACR中表示出CR、AR的长，在RT△BCR中根据勾股定理可求得m的值，即AC的长．

解答 解：（1）∵OH⊥BC于点H，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）如图2，连接OB、OC，
∵OH=DH，OB=OD，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB，而OH⊥BH，
∴∠OBH=30°，∠BOH=60°
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°；
（3）如图3，延长BK、AC交于点P，连接OB，过点C作CR⊥AB于点R，
在RT△BOH中，OB=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，∠BOH=60°，
∴BH=OB•sin60°=$\frac{7}{2}$，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=7，
∵BK⊥AD，
∴∠AKB=∠AKP=90°，
在△ABK和△APK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAK=∠PAK}\\{AK=AK}\\{∠AKB=∠AKP}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△APK（ASA），
∴BK=PK，AB=AP，
∵BH=CH，
∴HK是△BCP的中位线，
∴CP=2HK=3，
设AC=m，则AB=AP=m+3，
在RT△ACR中，∠RAC=60°，
∴AR=$\frac{1}{2}$m，CR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴BR=AB-AR=m+3-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$m+3，
在RT△BCR中，BR²+CR²=BC²，即（$\frac{1}{2}$m+3）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）²=7²，
解得：m=5或m=-8（舍），
∴AC=5．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定等知识．该题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．