Question

6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两坐标轴的正半轴交于点E、F．当EF⊥OA时，此时EF=$\frac{125}{24}$．

Answer 1

分析 作出辅助线，利用两点的距离公式计算出OA，根据圆周角定理得到EF为⊙D的直径，再根据垂径定理得到CO的值，设OE=t，根据勾股定理得出关于t的方程，进而计算出CE的值，设⊙D的半径为r，则OD=r，利用勾股定理得出关于t的方程，解出r的值即可．

解答 解：连接AE、OD，作AB⊥x轴于B，OA与EF垂直于C，如图1，
∵A（4，3），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵∠EOF=90°，
∴EF为⊙D的直径，
∵EF⊥OA，
∴CO=AC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴EO=EA，
设OE=t，则AE=t，BE=4-t，
在Rt△ABE中，AB=3，
∵AB²+BE²=AE²，
∴3²+（4-t）²=t²，解得t=$\frac{25}{8}$，
在Rt△OEC中，CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{15}{8}$，
在Rt△OCD中，设⊙D的半径为r，则OD=r，CD=r-$\frac{15}{8}$，
∵DC²+OC²=OD²，
（r-$\frac{15}{8}$）²+（$\frac{5}{2}$）²=r²，解得r=$\frac{125}{48}$，
∴EF=2r=$\frac{125}{24}$；
故答案为$\frac{125}{24}$．

点评 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键．