Question

14．如图，在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠GAB=30°，以GB为边在GB的下方作正方形GBEH，以AB为边在AB的上方作正方形ABCD，连结CG．若FB=2，则CG²的值为15-6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作GM⊥BC于M，由四边形ABCD是正方形可以得出AB=BC，∠ABC=90°，由∠AGB=90°，∠GAB=30°，可以得出∠GBA=60°，从而得到∠EBF=30°，∠GBM=30°，由FB得到BE=GB=$\sqrt{3}$，可以求出GM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BM=$\frac{3}{2}$，可以求出CM=2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，在Rt△GMC中，由勾股定理就可以求出CG²的值．

解答 解：作GM⊥BC于M，

∴∠GMC=∠GMB=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵∠AGB=90°，∠GAB=30°，
∴∠GBA=60°，AB=2GB
∴∠EBF=30°，∠GBM=30°，
∵FB=2，
∴BE=GB=$\sqrt{3}$，
∴AB=BC=2$\sqrt{3}$，GM=$\frac{1}{2}$GB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BM=$\frac{3}{2}$，
∴CM=2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
在Rt△GMC中，由勾股定理，得
CG²=GM²+MC²
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）²
=15-6$\sqrt{3}$．
故答案为：15-6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用．在解答中制造直角三角形运用勾股定理是关键．