Question

5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OA=2，∠BOC=30°，把△OBC沿OB对折，点C落在点D处，线段OD与AB交于点E．若点P在直线CD上，并且△OEP为直角三角形，求P点坐标．

Answer 1

分析 分三种情形讨论：①当∠EOP=90°时，PE²=PO²+OE²；②当∠OEP=90°时，OP²=OE²+EP²；③当∠OPE=90°时，OE²=EP²+OP²；分别列出方程解方程即可．

解答 解：如图，∵△OBD是由△OBC翻折，∠BOC=30°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠BOD=∠AOE=30°，OD=OC，
∴△DOC是等边三角形，
在RT△AEO中，∵A0=2，∠OE=30°，
∴EA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，点E坐标（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2），
在RT△BOC中，∵BC=AO=2，∠BOC=30°，
∴OC=2$\sqrt{3}$，∴点D坐标（$\sqrt{3}$，3），点C坐标（2$\sqrt{3}$，0）
直线CD为y=-$\sqrt{3}$x+6，设点P（m，-$\sqrt{3}m+6$），
∴PO²=m²+（-$\sqrt{3}$m+6）²=4m²-12$\sqrt{3}$m+36，PE²=（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+（-$\sqrt{3}$m+4）²=4m²-$\frac{28\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{52}{3}$，OE²=$\frac{16}{3}$，
①当∠EOP=90°时，PE²=PO²+OE²，4m²-$\frac{28\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{52}{3}$=4m²-12$\sqrt{3}$m+36+$\frac{16}{3}$，解得m=3$\sqrt{3}$，∴点P坐标（3$\sqrt{3}$，-3）；
②当∠OEP=90°时，OP²=OE²+EP²，4m²-12$\sqrt{3}$m+36=4m²-$\frac{28\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{52}{3}$+$\frac{16}{3}$，解得m=$\frac{10\sqrt{3}}{9}$，∴点P坐标（$\frac{10\sqrt{3}}{9}$，$\frac{8}{3}$）；
③当∠OPE=90°时，OE²=EP²+OP²，方程无解．
综上所述，点P坐标为（3$\sqrt{3}$，-3）或（$\frac{10\sqrt{3}}{9}$，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，学会分类讨论，用转化的思想去思考问题，计算量比较大．