Question

8．如图，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区城③④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域上点，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF的关系（不要求证明）．

Answer 1

分析 先根据矩形的性质得出AB∥CD，再分点P分别位于①、②、③、④四个象限分别求解即可．

解答 解：如图1，当点P在①区域时，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；
当点P在区域②时，如图2所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC；
如图3所示，当点P在区域③时，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHB．
∵∠PEH++PEB=180°，
∴∠PEH=180°-∠PEB．
∵∠EPF+∠PEH+∠PHB=180°，即∠EPF+（180°-∠PEB）+∠PFC=180°，
∴∠PEB=∠EPF+∠PFC；
如图4所示，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHB．
∵∠PHB是△PEH的外角，
∴∠PHB=∠EPF+∠PEB，即∠PFC=∠EPF+∠PEB．

点评 本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．