Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（3，a）（其中a＞4），射线OA与反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象交于点P，点B、C分别在函数y=$\frac{12}{x}$的图象上，且AB∥x轴，AC∥y 轴；
（1）当点P横坐标为2，求直线AO的表达式；
（2）连接CO，当AC=CO时，求点A坐标；
（3）连接BP、CP，试猜想：$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值；如果变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=2代入反比例解析式求出y的值，确定出P坐标，将P坐标代入直线AO解析式y=kx，求出k的值，即可确定出解析式；
（2）连接CO，如图1所示，由AC与y轴平行，得到A与C横坐标相同，确定出C坐标，求出OC的长，即为AC的长，列出方程，求出解即可确定出A坐标；
（3）$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值不变，理由为：如图2，过C点向y轴作垂线交OA于点D，连接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，连接BP，CP，根据A坐标表示出直线OC解析式，进而表示出D坐标，以及B坐标，得到四边形ABCD为矩形，进而得到BE=CF，利用同底等高三角形面积相等即可求出所求之比．

解答 解：（1）当x=2时，y=$\frac{12}{2}$=6，
∴P（2，6），
设直线AO的解析式为y=kx，
代入P（2，6）得k=3，
则直线AO的解析式为y=3x；
（2）如图1，连接OC，

由AC∥y轴，得C点横坐标为3．
当x=3时，y=4，
∴C（3，4），即OC=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∵AC=OC，
∴a-4=5，即a=9，
∴A（3，9）；
（3）$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值不变，理由为：
如图2，过C点向y轴作垂线交OA于点D，连接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，连接BP，CP，

∵直线OA的解析式为y=$\frac{a}{3}$x，
∴D点的坐标为（$\frac{12}{a}$，4），
∵AB∥x轴，
∴点B的坐标为（$\frac{12}{a}$，a）．
∴CD∥x轴，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B、C到对角线AD的距离相等，即BE=CF，
∴△ABP与△ACP是同底等高的两个三角形，它们面积相等，
则$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{ACP}}$=1．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，矩形的判定与性质，三角形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握性质及运算法则是解本题的关键．