Question

6．如图，AB为⊙O的弦，点C为弧AB的中点，点D是⊙O上一动点，连接CD交AB于点E，点P为BA的延长线上一点，连接PD，得到PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当AB经过圆心O时，连接BC，若tan∠BCD=2，求tan∠APD．

Answer 1

分析 （1）连接OC、OD，根据垂径定理得到OC⊥AB，根据等腰三角形的性质证明∠PDO=90°即可；
（2）连接AD、BD，根据正切的性质得到$\frac{BD}{AD}$=2，设PA=a，求出PD、OD，根据正切的概念解答即可．

解答 （1）证明：如图2，连接OC、OD，
∵点C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED，又∠PED=∠CEO，
∴∠PDE+∠ODC=90°，即∠PDO=90°，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图1，连接AD、BD，
∵∠DAB=∠DCB，
∴tan∠DAB=2，
∴$\frac{BD}{AD}$=2，
∵PD是⊙O的切线，
∴∠PBD=∠ADP，又∠P=∠P，
∴△APD∽△DPB，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PD}{PB}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
设PA=a，则PD=2a，PB=4a，
则AB=3a，
∴tan∠APD=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．