Question

4．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD=16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE-BF的值．

Answer 1

分析 如图，作辅助线，综合运用垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等几何知识点来分析、判断，由勾股定理求出OM，即可解决问题．

解答 解：如图，连接OC，延长AE交⊙O于点H，连接BH；
过点O作ON⊥BH于点N，交CD于点M；
则HN=BN，CM=DM=$\frac{1}{2}$CD=8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AHB=90°；
∵AE⊥CD，
∴CD∥BH；
∵ON⊥BH，BF⊥CD，
∴EH=MN=BF（设为x）；
∵AO=B0，HN=BN，
∴ON为△ABH的中位线，
∴AH=2ON，
即AE+x=2（OM+x），AE-x=2OM；
由勾股定理得：
OM²=OC²-CG²=100-64=36，
∴OM=6，2OM=12；
∴AE-BF=12．

点评 该命题以圆为载体，以垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．