Question

2．已知菱形ABCD边长为5cm，tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，连接AC、BD，过点B作BE⊥AB分别交AC、CD于E、F．若点P为AD上一点，且∠DPE+∠DAB=90°，则AP长为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用菱形ABCD边长和tan∠DAB的数值求得BF，CF，DF，进一步利用勾股定理求得DB，得出DO，AO，利用△AEB≌△AED，得∠ADE=∠ABE=90°，由△DOE∽△AOD，得$\frac{DO}{DE}$=$\frac{AO}{AD}$求出DE，再利用△PDE∽△BFC得$\frac{DE}{FC}$=$\frac{PD}{BF}$，求出PD，由PA=AD-DP即可求出PA．

解答 解：连接DE，
∵菱形ABCD边长为5cm，tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，
∴∠DAB=∠DCB，∠DAC=∠CAB，AD=AB，AC⊥BD，tan∠DCB=$\frac{4}{3}$=$\frac{BF}{CF}$，
设BF=4k，CF=3k，
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴∠BFC=∠ABF=90°，
在RT△BCF中，（4k）²+（3k）²=5²，
∵k＞0，
∴k=1
∴BF=4，CF=3，
∴DF=2，
∴DB=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DO=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，
∴AO=$\sqrt{A{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在△AEB和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠EAD=∠EAB}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AED，
∴∠ADE=∠ABE=90°，
∴∠ODE+∠ADO=90°，∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ODE=∠DAO，∵∠DOA=∠DOE=90°，
∴△DOE∽△AOD，
∴$\frac{DO}{DE}$=$\frac{AO}{AD}$，
∴DE=$\frac{DO•AD}{AO}$=$\frac{\sqrt{5}•5}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5}{2}$，
∵∠DPE+∠DAB=90°，∠FBC+∠BCF=90°，∠DAB=∠BCF，
∴∠DPE=∠FBC，
∵∠PDF=∠BFC=90°，
∴△PDE∽△BFC，
∴$\frac{DE}{FC}$=$\frac{PD}{BF}$，
∴PD=$\frac{10}{3}$，
∴PA=AD-PD=5-$\frac{10}{3}$=$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．